Гиперболы
— Под этим названием известен в аналитической геометрии ряд кривых линий. 1) Г. второго порядка, или так называемая Аполлониева гипербола. Эта кривая линия была известна уже грекам и принадлежит к числу конических сечений, т. е. получается через сечение прямого кругового конуса плоскостью. В аналитической геометрии гипербола эта, будучи линией второго порядка, определяется уравнением
(1) Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
в том случае, когда АС — В 2 < 0, Г. второго порядка состоит из двух отдельных ветвей (черт. 1).
Черт. 1.
Между этими ветвями лежит некоторая точка О, называемая центром Г., относительно которой точки Г. попарно симметричны; другими словами — всякая прямая, проведенная через центр, пересекает Г. в двух точках, лежащих на одинаковом расстоянии по разные стороны от центра. Из таких секущих, проведенных через центр, существуют две взаимно перпендикулярные ОХ и OY, называемые осями. Относительно этих осей Г. симметрична. Ось ОХ пересекает Г. в двух точках А и А 1, лежащих на разных ветвях Г. и называемых вершинами Г.; другая же ось OY лежит между ветвями Г. и не пересекает ее. Если мы выберем новую систему координат таким образом, что за новое начало координат выберем центр Г., а за ось х-ов пересекающую ось ОХ Г., за ось у-ов, не пересекающую ось Г. ОY и уравнение Г., написанное при старых координатах в виде, приведенном выше, преобразуем по формулам аналитической геометрии для перехода от старых координат к новым, то новое уравнение Г. при новых координатах будет иметь следующий весьма простой вид:
(2) x2 /а 2 — у 2/b2 = 1
где а есть не что иное, как расстояние от центра до одной из вершин и, следовательно, есть так называемая длина действительной полуоси Г., так, как расстояние от центра до одной из вершин есть половина расстояния между вершинами А и а 1, которое есть не что иное, как длина всей пересекающей оси. Если мы в уравнении (2) во второй части вместо 1 поставим 0, то получим уравнение
(3) x2 /а 2 — у 2/b2 = 0,
определяющее две прямые, проходящие через начало координат, т. е. центр гипербола. В самом деле, уравнение можно переписать так:
(x/a + y/b)(x/a — y/b) = 0,
а оно распадается на два следующих:
x/a + y/b = 0
и
x/a — y/b = 0
определяющих две прямые, называемые асимптотами. Эти асимптоты расположены симметрично относительно осей Г. и наклонены с разных сторон к оси ОХ под углом φ, определяемым из равенства
tang φ = b/a.
Каждая из асимптот пересекает Г. в точке, лежащей на бесконечности. Обе ветви Г. лежат в двух вертикальных углах между асимптотами, при чем они приближаются к асимптотам по мере удаления от центра. Если мы будем пересекать Г. рядом прямых линий, параллельных между собой, то каждая из этих хорд будет иметь две точки пересечения с гиперболой; середины этих параллельных хорд лежат на некоторой прямой, проходящей через центр Г. и называемой диаметром Г. Всякая прямая, проходящая через центр, есть диаметр для хорд некоторого направления. Если теперь мы проведем два диаметра, из которых один параллелен хордам, которые делит пополам другой, то такие два диаметра называются сопряженными. Свойство сопряженных диаметров состоит в том, что каждый из них параллелен хордам, делящимся пополам другим. Две оси суть не что иное, как пара взаимно-перпендикулярных сопряженных диаметров. Если мы один из сопряженных диаметров будем вращать вокруг центра, начиная с положения, совпадающего с осью х-ов, в сторону, обратную движению часовой стрелки, при чем, очевидно, этот диаметр будет приближаться к асимптоте E 1 OE, то сопряженный диаметр будет вращаться в обратную сторону, начиная с положения, совпадающего с осью OY, и стремиться подойти с другой стороны к той же асимптоте Е 1 ОЕ, так что предельным положением такой пары вращающихся сопряженных диаметров будет асимптота Е 1 ОЕ, с которой стремятся совпасть оба диаметра. То же самое будет иметь место по отношению к другой асимптоте С 1 ОС — если мы начнем вращать один из диаметров, начиная с положения ОХ, по направлению часовой строки, приближая к асимптоте С 1 ОС. Уравнения двух сопряженных диаметров имеют вид
l(x/a) + y/b = 0, x/a + l(y/b) = 0;
меняя в этой системе число l, будем получать разные пары сопряженных диаметров: при l = 0 получаются, очевидно, оси; при l = — 1 оба уравнения обращаются в уравнение асимптоты Е 1 ОЕ; при l = 1 получаем асимптоту СОС, при l каком-нибудь, отличном от этих трех чисел, получаем какую-нибудь пару сопряженных диаметров. Остается теперь обратить внимание на две замечательные точки F и F 1, называемые фокусами Г.; эти точки лежат на пересекающей оси Г. в расстоянии от центра, равном √(a2 + b2). Основное свойство этих фокусов состоит в том, что расстояние каждой точки M Г. до одного из этих фокусов выражается линейной функцией от абсциссы точки М. Если эту линейную функцию мы приравняем нулю, то получим уравнение некоторой прямой линии, называемой директрисой. Директрис две: D и D 1; обе они перпендикулярны оси х - ов и лежат по обе стороны оси у-ов на расстоянии, равном a2/√(a2 + b2). Если соединим точку М, лежащую на Г., с двумя фокусами F и F 1 прямыми MF и МF 1 и обозначим расстояния MF, MF 1 через v и v1, то, если точка М лежит, как это показано на чертеже, на правой ветви Г., мы получим
v1 — v = 2а;
если же на левой, то
v — v1 = 2a,
другими словами, мы видим, что Г. есть геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух заданных, называемых фокусами, есть величина постоянная и равна 2а — длине перестающей оси Г. Из такого определения Г. следует весьма простой механический способ черчения этой кривой. Если возьмем полярные координаты, причем полюс поместим в одном из фокусов Г., а полярную ось направим по пересекающей оси Г., тогда уравнение Г. принимает следующий замечательный вид, употребляемый в астрономии:
r = p/(1 + eCos Θ),
где r и Θ суть полярные координаты точки на Г.: r — расстояние точки до полюса, так называемый радиус вектор точки, а Θ — угол, составляемый радиусом вектором с полярной осью; p есть так называемый параметр Г. и равняется b2/a, т. е. ординате у, соответствующей фокусу;
е = √(a 2 + b2)/a
называется астрономическим эксцентриситетом гиперболы; число е больше единицы и показывает, во сколько раз расстояние фокуса до центра больше расстояния вершины до центра. Дадим теперь геометрическое толкование числу b. Если мы в уравнении (2) во второй части переменим + 1 на — 1, т. е. возьмем
x2 /а 2 — у 2/b2 = — 1,
то получим новую Г., называемую сопряженной, при чем эта новая Г. займет другую пару вертикальных углов между асимптотами, как показано на чертеже. Для сопряженной Г. центр и асимптоты будут те же, что и для заданной. Перестающая же ось для сопряженной Г. совпадает с мнимой осью первоначальной, при чем длина этой оси BB 1 будет, очевидно, равна 2b. Укажем теперь на свойства сопряженных диаметров, замеченные Аполлонием. Так как сопряженные диаметры лежат в разных вертикальных углах, образуемых асимптотами, то очевидно, что один из них пересекает в двух точках заданную Г., а другой — сопряженную. Назовем длину полудиаметра, пересекающего заданную Г., через а 1, а длину сопряженного полудиаметра, пересекающего Г. сопряженную, через b1, тогда будет иметь место для всякой пары сопряженных диаметров равенство
a12 — b12 = a2 — b2,
т. е. разность квадратов сопряженных полудиаметров в Г. есть величина постоянная, равная разности квадратов полуосей. В четырех точках пересечения заданной Г. и сопряженной двумя сопряженными диаметрами проведем четыре касательные линии; эти касательные образуют параллелограмм, вершины которого лежат на асимптотах, стороны же, очевидно, параллельны рассматриваемым диаметрам. Площадь этого параллелограмма есть величина постоянная, равная 4аb, т. е. площади прямоугольника, построенного на осях.
Черт. 2.
Если числа а и b равны между собой, то уравнение Г. будет иметь вид
х 2 — у 2 = а 2,
причем Г. будет так называемая равносторонняя, ее асимптоты будут взаимно перпендикулярны, а сопряженная Г. будет подобна заданной, при чем поворотом на 90° вокруг центра может быть совмещена с заданной. Равносторонняя Г. играет ту же роль относительно разносторонней, какую круг относительно эллипса. Если мы возьмем асимптоты за координатные оси, тогда уравнение Г. примет вид
xy = k2,
где k — число постоянное, зависящее от полуосей.
2) Змеевидная Г. — так наз. линия, определяемая уравнением
xy2 + aby — a2 х = 0.
3) Г. высшего порядка — так наз. линии, определяемые уравнением
xnym = a,
где m и n числа целые, положительные. При n = m = 1 последнее уравнение даёт Г. второго порядка. Асимптотами этих Г. служат оси координат.
Д. Граве.