Брахистохрона
(от греч. brachistos - кратчайший и chronos - время), кривая быстрейшего спуска, т. е. та из всевозможных кривых, соединяющих две точки А и Б, вдоль которой тяжелый шарик, катящийся без трения из точки А, в кратчайшее время достигнет точки В. Если сопротивление среды отсутствует, то брахистохрона - циклоида.
Брахистохрона
— кривая быстрейшего ската (от греческих слов (βράχισ τος — кратчайший и χρόνος — время). В первоначальном своем значении слово это применялось к кривой, по которой материальная точка, двигаясь под влиянием одной только силы тяжести, переходит из одной данной точки в другую в кратчайшее время. В настоящее время то же название распространено и на случай действия на движущуюся точку каких угодно сил, не только силы тяжести. Задача о нахождении Б. имеет большой исторический интерес в математике, так как она привела к изобретению вариационного исчисления (см. это сл.). В 1697 г. Иван Бернулли, бывший тогда профессором математики в Гронингене, предложил геометрам задачу о кривой наименьшего ската, которую он определил следующим образом. Из некоторой точки А опущено тело; требуется найти, по какой кривой должно заставить его двигаться, чтобы оно пришло наискорейшим образом в некоторую другую точку В. Лейбниц решил задачу Бернулли в тот же день, когда он получил его программу. Оба условились не открывать никому своих решений и дать другим математикам целый год времени для состязания, о чем и было объявлено Иваном Бернулли во многих журналах. До истечения назначенного срока и почти в одно и то же время было опубликовано три решения задачи. Авторы их были: Яков Бернулли, профессор математики в Базеле, брат Ивана Бернулли; маркиз де л'Опиталь и Ньютон. Решение последнего было напечатано без имени автора в Трудах Лондонского королевского общества, но И. Бернулли тотчас отгадал автора. Все эти решения одинаково приходили к результату, что линия кратчайшего ската есть циклоида с горизонтальным основанием, выдающаяся точка которой находится в верхней из данных двух точек. В то же время было уже известно, что циклоида есть также тотохрона (см. это слово) для движения под влиянием силы тяжести, как показал Гейгенс. Раньше только что изложенного события, вопрос о Б. занимал умы некоторых ученых, но не мог быть решен вследствие недостаточности анализа. Так, напр., Галилей ошибочно думал, что дуга круга удовлетворяет условиям брахистохронизма. В практике Б. имеет применение при постройке так наз. гор, ледяных или дощатых (за границею они известны под именем "русских гор"). В самом деле, из свойства циклоиды как Б. следует, что наивыгоднейшая форма, которую можно придать горам, есть именно циклоидальная. Строители гор, не знакомые, конечно, с теоретическими изысканиями математиков, пришли, однако, сами, эмпирически, к такой форме, которая весьма близко совпадает с циклоидальною. Точное совпадение с циклоидой не требуется и самой теорией, которая доказывает, что циклоида есть Б. в том случае, когда не принимается в расчет сопротивление воздуха, которое, однако, во всех практических случаях имеет весьма малое значение.
Изложим способ, которым задача о Б. была решена самим Бернулли. Во-первых, очевидно сразу, что искомая кривая должна лежать в вертикальной плоскости, проходящей через две заданные точки А и В. Далее, легко видеть, что если время ската через всю кривую есть minimum, то и для каждого отдельного отрезка время ската по искомой кривой меньше, чем время ската по какой бы то ни было иной кривой, которою можно заменить этот отрезок. Воспользуемся следующим простым принципом: между двумя равными значениями какого-нибудь количества, изменяющегося непрерывно, должен находиться по крайней мере один maximum или minimum этого количества. Итак АС, СВ и АС', С'B суть две пары бесконечно малых сторон многоугольника такого свойства, что время ската по каждой паре одинаково, причем, кроме того, прямая СС' бесконечно малая величина второго порядка и горизонтальна. Тогда брахистохрона должна лежать между этими двумя путями и должна обладать всяким свойством, общим обоим путям. Опустим из точек С, С' перпендикуляры Са, С'a' на ВС' и АС, тогда мы должны иметь
Са':v = C'a:v'
где v, v' суть скорости движения по соответствующим прямым, которые, в течение бесконечно малого промежутка времени передвижения по проведенным прямым, можно считать постоянными. Пусть θ есть угол наклонения АС к горизонту, θ ' угол наклонения СВ. Тогда будет
Са' = CC'co s θ, C'a = CC'сosθ '
откуда cos θ:v = cos θ ':v'.
Эта формула должна иметь место для каждых двух последовательных элементов кривой, т. е. мы должны иметь постоянно v пропорционально cos θ. Но, с другой стороны, v2 пропорционально разности высот между начальным и данным положением точки; итак, искомая кривая обладает тем свойством, что косинус угла ее с некоторою постоянною горизонтальною прямою пропорционален расстоянию от прямой параллельной первой (т. е. так же горизонтальной), проходящей через начальную точку кривой. Таким свойством обладает циклоида. Аналитически задачу о Б. легко решить при помощи вариационного исчисления. Пусть ось x горизонтальна, ось у направлена по вертикали вниз; время ската будет
Нужно найти такую форму кривой, для которой этот интеграл обращается в минимум. Написав вместо ds его выражение √(1 + y2), вместо v его выражение √(2gy), имеем:
Откуда √(1 + y'2) = c/√y или (ds)/(dy) = √[a/(a — y)],
где а = с 2, а это есть дифференциальное уравнение горизонтальной циклоиды.
Если требуется найти Б. не между двумя заданными точками, а в более общем виде между двумя точками, лежащими на двух неподвижных кривых, уравнения которых заданы, то следует ввести в рассмотрение вариации конечных точек брахистохроны. Результат покажет, что Б. нормальна в конечной точке к кривой, на которую она скатывается, и что касательные к заданными кривым в точках пересечения их с Б. параллельны. Исследование второй вариации показывает, что она существенно положительная величина, а не обращается в ∞, т. е. найденное решение действительно выражает искомый минимум. В более общем виде — разыскание брахистохроны для точки, подверженной каким угодно силам, имеющим потенциал также сводится к разысканию минимума интеграла
т. е. к решению уравнения
или
Раскрывая эти выражения и принимая во внимание, что в конечных точках δ x = 0, δ y = 0, δ z = 0 имеем три уравнения вида
[d/dt][(1/v)(dx/dt)] + X/v = 0.
Исключая из этих уравнений t и v, получим 2 дифференциальных уравнения в x, у, z искомой кривой. Исследование только что полученных трех уравнений показывает, что равнодействующая всех приложенных сил заключается в оскулирующей плоскости к Б. и что нормальная составляющая приложенных сил в Б. равна и прямо противоположна нормальной составляющей тех сил, при действии которых материальная точка описывала бы с тою же самою скоростью ту же кривую. Отсюда, напр., непосредственно следует, что при действии постоянной отталкивательной силы, исходящей из неподвижной точки, Б. есть парабола, фокус которой находится в данной точке; точно так же эллипс есть Б. для силы отталкивательной, исходящей из одного фокуса и обратно пропорциональной квадрату расстояния от другого фокуса, и т. п. В некоторых частных случаях центральных сил Б. есть эпициклоида (см., напр., Будаев, "Теоретическая механика").
И. Клейбер.
Общий запас лексики (от греч. Lexikos) — это комплекс всех основных смысловых единиц одного языка. Лексическое значение слова раскрывает общепринятое представление о предмете, свойстве, действии, чувстве, абстрактном явлении, воздействии, событии и тому подобное. Иначе говоря, определяет, что обозначает данное понятие в массовом сознании. Как только неизвестное явление обретает ясность, конкретные признаки, либо возникает осознание объекта, люди присваивают ему название (звуко-буквенную оболочку), а точнее, лексическое значение. После этого оно попадает в словарь определений с трактовкой содержания.
Словечек и узкоспециализированных терминов в каждом языке так много, что знать все их интерпретации попросту нереально. В современном мире существует масса тематических справочников, энциклопедий, тезаурусов, глоссариев. Пробежимся по их разновидностям:
Проще изъясняться, конкретно и более ёмко выражать мысли, оживить свою речь, — все это осуществимо с расширенным словарным запасом. С помощью ресурса How to all вы определите значение слов онлайн, подберете родственные синонимы и пополните свою лексику. Последний пункт легко восполнить чтением художественной литературы. Вы станете более эрудированным интересным собеседником и поддержите разговор на разнообразные темы. Литераторам и писателям для разогрева внутреннего генератора идей полезно будет узнать, что означают слова, предположим, эпохи Средневековья или из философского глоссария.
Глобализация берет свое. Это сказывается на письменной речи. Стало модным смешанное написание кириллицей и латиницей, без транслитерации: SPA-салон, fashion-индустрия, GPS-навигатор, Hi-Fi или High End акустика, Hi-Tech электроника. Чтобы корректно интерпретировать содержание слов-гибридов, переключайтесь между языковыми раскладками клавиатуры. Пусть ваша речь ломает стереотипы. Тексты волнуют чувства, проливаются эликсиром на душу и не имеют срока давности. Удачи в творческих экспериментах!
Проект how-to-all.com развивается и пополняется современными словарями с лексикой реального времени. Следите за обновлениями. Этот сайт помогает говорить и писать по-русски правильно. Расскажите о нас всем, кто учится в универе, школе, готовится к сдаче ЕГЭ, пишет тексты, изучает русский язык.